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Jul 10, 2024

새로 발견된 수학적 '아인슈타인' 모양은 결코 존재하지 않는 모습을 만들어냅니다.

A new shape called an einstein has taken the math world by storm. The craggy, hat-shaped tile can cover an infinite plane with patterns that never repeat. Creatively tiling a bathroom floor isn’t just

아인슈타인이라는 새로운 모양이 수학계를 휩쓸었습니다. 울퉁불퉁한 모자 모양의 타일은 결코 반복되지 않는 패턴으로 무한한 평면을 덮을 수 있습니다.

욕실 바닥을 창의적으로 타일링하는 것은 DIY 주택 개조업체에게 스트레스가 많은 작업이 아닙니다. 수학에서 가장 어려운 문제이기도 합니다. 수세기 동안 전문가들은 바닥, 주방 백스플래시 또는 무한히 큰 평면을 틈 없이 덮을 수 있는 타일 모양의 특별한 특성을 연구해 왔습니다. 특히 수학자들은 반복되는 디자인을 만들지 않고도 전체 평면을 덮을 수 있는 타일 모양에 관심이 있습니다. 비주기 타일링이라고 하는 이러한 특별한 경우에는 타일링을 계속 진행하기 위해 복사하여 붙여넣을 수 있는 패턴이 없습니다. 모자이크를 어떻게 자르든 각 섹션은 고유합니다.

지금까지 비주기 타일링에는 항상 서로 다른 모양의 타일이 두 개 이상 필요했습니다. 많은 수학자들은 이미 독일어로 "하나의 돌"을 의미하는 "아인슈타인" 타일이라고 불리는 하나의 타일로 해결책을 찾는 희망을 포기했습니다.

그러던 중 지난 11월 영국 요크셔 출신의 은퇴한 인쇄 시스템 엔지니어 데이비드 스미스(David Smith)가 획기적인 발전을 이루었습니다. 그는 아인슈타인 타일일 수 있다고 믿었던 13면의 울퉁불퉁한 모양을 발견했습니다. 온타리오 워털루 대학교의 컴퓨터 과학자인 크레이그 카플란(Craig Kaplan)에게 말했을 때, 카플란은 이 모양의 잠재력을 재빨리 알아차렸습니다. Kaplan은 아칸소 대학의 소프트웨어 개발자 Joseph Samuel Myers 및 수학자 Chaim Goodman-Strauss와 함께 Smith의 단일 타일이 실제로 간격이나 반복 없이 평면을 포장한다는 것을 증명했습니다. 게다가 그들은 스미스가 하나뿐 아니라 무한한 수의 아인슈타인 타일도 발견했다는 사실을 발견했습니다. 팀은 최근 사전 인쇄 서버 arXiv.org에 게시된 논문에서 결과를 보고했지만 아직 동료 검토를 거치지 않았습니다.

스페인 그라나다 알람브라 궁전의 아름다운 모자이크 복도를 걸어본 사람이라면 누구나 평면 타일링과 관련된 예술성을 알고 있을 것입니다. 그러나 그러한 아름다움에는 답할 수 없는 질문이 숨어 있습니다. 수학자 로버트 버거(Robert Berger)가 1966년에 말했듯이, 증명할 수 없는 질문입니다.

무한한 수의 정사각형 타일로 무한한 표면을 타일링한다고 가정해 보겠습니다. 하지만 한 가지 규칙을 따라야 합니다. 타일의 가장자리는 색상이 지정되어 있으며 동일한 색상의 가장자리만 닿을 수 있습니다.

무한 타일을 사용하면 조각을 놓기 시작합니다. 성공할 것이라고 생각하는 전략을 찾았지만 어느 시점에서 막다른 골목에 직면하게 됩니다. 사용 가능한 타일로는 채울 수 없는 간격이 있으며 서로 일치하지 않는 가장자리를 서로 옆에 배치해야 합니다. 게임 끝.

그러나 올바른 색상 조합의 올바른 타일이 있다면 확실히 문제에서 벗어날 수 있습니다. 예를 들어, 모든 가장자리가 동일한 색상인 타일이 하나만 필요할 수도 있습니다. 수학자들은 게임을 보고 이렇게 묻습니다. “처음에 주어진 색상 타일의 종류만 보고 막다른 골목에 도달할지 여부를 판단할 수 있습니까? 그러면 확실히 시간이 많이 절약될 것입니다.”

Berger가 찾은 대답은 '아니요'입니다. 틈 없이 표면을 덮을 수 있을지 예측할 수 없는 경우가 늘 있기 마련입니다. 원인은 비주기 타일링의 예측 불가능하고 반복되지 않는 특성입니다. Berger는 그의 작품에서 색상 패턴이 반복되지 않고 평면을 포장할 수 있는 믿을 수 없을 정도로 큰 20,426개의 다양한 색상의 타일 세트를 발견했습니다. 그리고 더 좋은 점은 타일을 어떻게 배치하더라도 해당 타일 세트로 반복 패턴을 형성하는 것이 물리적으로 불가능하다는 것입니다.

이 발견은 그 이후로 수학자들을 괴롭혀온 또 다른 질문을 제기했습니다. 함께 비주기적 테셀레이션을 만들 수 있는 타일 모양의 최소 개수는 얼마입니까?

그 후 수십 년 동안 수학자들은 비주기적인 모자이크를 만들 수 있는 점점 더 작은 타일 세트를 발견했습니다. 먼저 Berger는 104개의 서로 다른 타일이 있는 타일을 발견했습니다. 그런 다음 1968년에 컴퓨터 과학자 Donald Knuth는 92개의 예를 발견했습니다. 3년 후 수학자 Raphael Robinson은 타일 유형이 6개뿐인 변형을 발견했으며 마침내 1974년에 물리학자 Roger Penrose는 타일이 2개뿐인 솔루션을 제시했습니다.